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Parámetros y fórmulas del elipsoide de revolución

Publicado el 18 de Marzo de 2009 admin 1 comentario

Nota: Este post está optimizado para Firefox, es posible que los usuarios de Internet Explorer veáis las fórmulas desplazadas respecto al texto. Mis disculpas por ello, ¿a qué esperáis para pasaros a Firefox?

Dado el elipsoide terrestre de la figura, con centro en $O$ , eje de rotación $PP_1$ y plano ecuatorial $OEAE_1$ , se definen las siguientes notaciones:

$a$ : semieje mayor o ecuatorial del elipsoide $a=OE=OE_1=OA$

$b$ : semieje menor o polar del elipsoide $b=OP=OP_1$

$\alpha$ : achatamiento o aplanamiento $\alpha=\displaystyle\frac{a-b}{a}$

$e$ : primera excentricidad del meridiano de la elipse $e^2=\displaystyle\frac{a^2-b^2}{a^2}$

$e'$ : segunda excentricidad del meridiano de la elipse $e'^2=\displaystyle\frac{a^2-b^2}{b^2}$

Los parámetros $a$ y $b$ o $a$ y $\alpha$ son los principales y determinan el elipsoide de revolución, el resto son magnitudes auxiliares empleadas en las deducciones matemáticas y teóricas.

Existen otras dependencias entre los elementos anteriores:

a) Relación entre $e$ y $e'$ :

$e^2=\displaystyle\frac{a^2-b^2}{a^2}=1-\displaystyle\frac{b^2}{a^2}$ $\Rightarrow$ $e'^2=\displaystyle\frac{a^2-b^2}{b^2}=\displaystyle\frac{a^2}{b^2}-1$ $\Rightarrow$ $\displaystyle\frac{a^2}{b^2}=1+e'^2$

de donde $\displaystyle\frac{b^2}{a^2}=\displaystyle\frac{1}{1+e'^2}$ y por lo tanto $e^2=1-\displaystyle\frac{1}{1+e'^2}$ $\Rightarrow$ $e^2=\displaystyle\frac{e'^2}{1+e'^2}$

análogamente obtenemos $e'^2=\displaystyle\frac{e^2}{1-e^2}$

b) Relación entre $e$ y $\alpha$ :

De $e^2=\displaystyle\frac{a^2-b^2}{a^2}=1-\displaystyle\frac{b^2}{a^2}$ $\Rightarrow$ $\displaystyle\frac{b}{a}=\sqrt[ ]{1-e^2}$ $\Rightarrow$ $b=a\sqrt[ ]{1-e^2}$

partiendo del achatamiento $\alpha=\displaystyle\frac{a-b}{a}=1-\displaystyle\frac{b}{a}$ $\Rightarrow$ $\alpha=1-\sqrt[ ]{1-e^2}$

luego $\sqrt[ ]{1-e^2}=\sqrt[ ]{1-a}$ de donde $e^2=2\alpha-\alpha^2$ o aproximadamente $e^2=2\alpha$

Fuente: Curso de geodesia superior. Zakatov, P.S.

Geodesia, Microapuntes
¿Qué es el Error Medio Cuadrático?

Publicado el 3 de Diciembre de 2007 admin 7 comentarios

Este es el primero de una serie de pequeños artículos que podríamos denominar “Microapuntes de topografía” y que consistirán simplemente en la definición de determinados conceptos, más o menos técnicos, que pertenecen al día a día de la profesión y que siempre conviene recordar. Espero que os sirvan de algo.

La determinación numérica de la medida de una magnitud física está siempre sujeta a error, que se pone de manifiesto al obtener resultados distintos de la misma medida. Las causas de estos errores son numerosas e irregulares: deficiencias del instrumento de medida, variaciones debidas a la temperatura o a la atmósfera, etc. Dada la imposibilidad de acotar estos errores accidentales, solamente cabe ejercer sobre ellos un control estadístico, a base de obtener, con cierta probabilidad, una cota del error cometido en la medida.

Suponemos entonces que los errores accidentales se distribuyen aproximadamente según una variable aleatoria normal, de media cero (error nulo), y desviación típica σ que indica el grado de precisión de la medida. Para cifrar el valor de esta precisión se utiliza la suma de los cuadrados de los residuos, concepto este muy ligado a la desviación típica, que evalúa la dispersión de las lecturas respecto la media.

Así pues, llamamos Error Medio Cuadrático (Emc) a la raíz cuadrada de la media aritmética de los cuadrados de los errores verdaderos (Ei)

como no conocemos los errores verdaderos, utilizamos otra expresión en función de los residuos, los cuales pueden ser calculados a partir de valores más probables:

por tanto, utilizamos la suma de los cuadrados de los residuos y (n-1) es la redundancia o los grados de libertad.

La desviación típica así calculada es un método práctico y sencillo para conocer la precisión de un conjunto de medidas.

Microapuntes, Topografia