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Parámetros y fórmulas del elipsoide de revolución

Publicado el 18 de Marzo de 2009 admin 1 comentario

Nota: Este post está optimizado para Firefox, es posible que los usuarios de Internet Explorer veáis las fórmulas desplazadas respecto al texto. Mis disculpas por ello, ¿a qué esperáis para pasaros a Firefox?

Dado el elipsoide terrestre de la figura, con centro en $O$ , eje de rotación $PP_1$ y plano ecuatorial $OEAE_1$ , se definen las siguientes notaciones:

$a$ : semieje mayor o ecuatorial del elipsoide $a=OE=OE_1=OA$

$b$ : semieje menor o polar del elipsoide $b=OP=OP_1$

$\alpha$ : achatamiento o aplanamiento $\alpha=\displaystyle\frac{a-b}{a}$

$e$ : primera excentricidad del meridiano de la elipse $e^2=\displaystyle\frac{a^2-b^2}{a^2}$

$e'$ : segunda excentricidad del meridiano de la elipse $e'^2=\displaystyle\frac{a^2-b^2}{b^2}$

Los parámetros $a$ y $b$ o $a$ y $\alpha$ son los principales y determinan el elipsoide de revolución, el resto son magnitudes auxiliares empleadas en las deducciones matemáticas y teóricas.

Existen otras dependencias entre los elementos anteriores:

a) Relación entre $e$ y $e'$ :

$e^2=\displaystyle\frac{a^2-b^2}{a^2}=1-\displaystyle\frac{b^2}{a^2}$ $\Rightarrow$ $e'^2=\displaystyle\frac{a^2-b^2}{b^2}=\displaystyle\frac{a^2}{b^2}-1$ $\Rightarrow$ $\displaystyle\frac{a^2}{b^2}=1+e'^2$

de donde $\displaystyle\frac{b^2}{a^2}=\displaystyle\frac{1}{1+e'^2}$ y por lo tanto $e^2=1-\displaystyle\frac{1}{1+e'^2}$ $\Rightarrow$ $e^2=\displaystyle\frac{e'^2}{1+e'^2}$

análogamente obtenemos $e'^2=\displaystyle\frac{e^2}{1-e^2}$

b) Relación entre $e$ y $\alpha$ :

De $e^2=\displaystyle\frac{a^2-b^2}{a^2}=1-\displaystyle\frac{b^2}{a^2}$ $\Rightarrow$ $\displaystyle\frac{b}{a}=\sqrt[ ]{1-e^2}$ $\Rightarrow$ $b=a\sqrt[ ]{1-e^2}$

partiendo del achatamiento $\alpha=\displaystyle\frac{a-b}{a}=1-\displaystyle\frac{b}{a}$ $\Rightarrow$ $\alpha=1-\sqrt[ ]{1-e^2}$

luego $\sqrt[ ]{1-e^2}=\sqrt[ ]{1-a}$ de donde $e^2=2\alpha-\alpha^2$ o aproximadamente $e^2=2\alpha$

Fuente: Curso de geodesia superior. Zakatov, P.S.

Geodesia, Microapuntes
Un comentario sobre “Parámetros y fórmulas del elipsoide de revolución”
1. cristian augusto lezama galindo 6 de Septiembre de 2009 en 14:46
  
  Estaba buscando unas formulas y me encontre con esta pagina me parece exelente que podamos encontrar cosas de interes para los topografos.
¿Y tú que opinas?

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